Teorema de Pitágoras – O que é? História, Fórmula, Demonstrações


O que é Teorema de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras é um dos principais estudos matemáticas, do qual relaciona os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo.

Diante do teorema, é afirmado que, em triângulos retângulos, o quadrado do comprimido da hipotenusa tem o mesmo tamanho da soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

A fórmula do teorema de Pitágoras, onde c é o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos outros dois catetos, é:

c2 = b2 + a2

Ele leva esse nome, pois foi descoberto pelo matemático Pitágoras.

História

A descoberta do teorema de Pitágoras é uma história bem interessante, pois é teorizado que ele foi descoberto em 4 civilizações antigas distintas e independentemente.


Egito

Especulam que os egípcios usavam cordas e a ideia de 3² + 4² = 5² para formular ângulos retos e um triângulo de lados 3, 4 e 5.

Muitos historiadores defendem essa história, principalmente o alemão Moritz Cantor. Porém, alguns dizem que falta provas concretas para essa teoria.

Mesopotâmia

Uma das mais fortes teorias sobre o teorema de Pitágoras é que os babilônios da mesopotâmia tinham conhecimentos da fórmula bem antes do próprio Pitágoras.Teorema de Pitágoras

Um fator que aumenta essa teoria é que foram encontrado peças de 1800 a.C da qual mostram tabelas de 15 linhas e 3 colunas.

Índia

Já na Índia, foram encontrados textos do Sulba Sutra, sem uma data correta de quando foram escritos, contendo manuscritos, enunciados e listas pitagóricos. Além disso, foram encontradas demonstrações de utilização de triângulos retângulos isósceles de antigas sociedades indianas.

China

A China é outro país que foi encontrado demonstrações do teorema de Pitágoras, antes da formulação do próprio Pitágoras. Ela aparece no problema “Gou Gu” do livro Zhoubi Saunjing.

Grécia

Por fim, na Grécia surgiu a teoria mais aceita para o teorema de Pitágoras. O matemático Pitágoras, utilizando métodos algébricos, conseguiu construir trios pitagóricos de triângulos retângulos.

Porém, segundo historiadores, Platão, por volta de 400 a.C, já utilizava ideias e métodos para fazer combinações algébricas e geométricas, chegando aos trios pitagóricos.

Fórmula

A fórmula padrão do teorema de Pitágoras, onde c é o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos outros dois catetos, é:

c2 = b2 + a2

Catetos e Hipotenusa

A hipotenusa se caracteriza por ser o maior lado de um triângulo retângulo. Ela se posiciona ao aposto do ângulo reto. Já os catetos são os dois outros lados menores que restaram do triângulo retângulo.

Demonstrações

Não se descobriu ao certo qual a demonstração oficial do teorema de Pitágoras, utilizada pelo matemático grego. Diante disso, diversas já foram publicadas em diferentes livros.

Por comparação de áreas

Inicia-se desenhando um quadro com lados b+a. Assim, é necessário dividi-lo em quatro retângulos com lados a e b.

Seguidamente, traça dois segmentos paralelos aos lados consecutivos ao interno do quadrado, com ambos possuindo os mesmos comprimentos.

Ao encontrar os quatro novos retângulos, é necessário dividi-los novamente, agora em dois retângulos, traçando retas diagonais, que serão chamadas de c. A região restante é b2 + a2

No fim, é necessário refazer um quadrado de lado b+a, porém, agora, fazendo os quatro triângulos retângulos em outra posição lá dentro, de um modo que deixa uma posição livre para o quadrado de lado c.

Por semelhança de triângulos

Um triângulo retângulo “ABC”, com o “C”, que está localizado na ponta central do triângulo, sendo o ângulo reto. Partindo da localização desse ângulo, é necessário puxar uma reta horizontal de nome “H”, encontrando a altura. Essa reta “H” irá dividir a hipotenusa (c) em duas partes, “d” e “e”. O triângulo “ACH” formado tem as mesmas características do “ABC”, com o ângulo reto. Com isso, é possível fazer a igualmente de razões com ambos:

a/c = e/a

e

b/c = d/b

O resultado da primeira fórmula é o cosseno do ângulo teta (θ). Já o segundo será o resultado do seno.

Demonstração de Bhaskara

Diante da imagem acima, é possível localizar a hipotenusa de um triângulo retângulo. Ao criar a equação, ela fica assim:

c2 = 4.ab/2 + (b – a)2

Diante dessa formula, podemos chegar na c2 = b2 + a2

Por cálculo diferencial

Diante dessa definição, é demostrado que um lado ser mudado, faz a hipotenusa ser mudada também.

A mudança “da” no lado “a”, formula a seguinte situação:

da/dc = d/a

Utilizando a semelhança de triângulos:

c dc = a da

Num espaço com um produto interno

É possível utilizar a teoria de produto interno no teorema de Pitágoras da seguinte forma:

||x||2 = <x,x></x,x>

Dois vetores x e y podem ser considerados perpendiculares se:

<x, y=””> = <y,x> = 0</y,x></x,>

Ao fim, o teorema de Pitágoras se define como:

||x+y||2 = <x,y> + <x,y> + <y,x> + <y,y> = ||x||2 + ||y||2</y,y></y,x></x,y></x,y>

Teorema de Pitágoras Euclides

Demonstração de Euclides

Euclides queria demostrar que o teorema de Pitágoras de uma forma diferente. Utilizando a imagem acima como exemplo, ele tinha como finalidade mostrar que o quadrado AOMG tem a mesma área que AIHD, e que o quadrado BEFG tem a mesma do BCHI. Para isso, mostrasse que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos, mais conhecido como teorema de Pitágoras.


Gostou desse artigo? Dê seu voto!

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (No Ratings Yet)
Loading...

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *